常数项级数审敛法

常数项级数的审敛法主要分为以下几种：

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比较判别法--> 1["比较判别法的\n 极限形式"] & 根值审敛法 & 比值审敛法

一、正项级数及其审敛法

正项级数：各项都是非负数的常数项级数 $x_{n} \geq 0$
正项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}$ 的部分和数列 ${S_{n}}$ 单调增加, 根据数列的极限知正项级数收敛的充分必要条件为部分和数列有上界

0. 比较判别法

比较审敛法：用一个已知发散或收敛的级数与之比较
$\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}$ 与 $\sum_{n = 1}^{\infty} y_{n}$ 是两个正项级数， $x_{n} \leq y_{n}, n = 1, 2, 3, \dots 0$

$\sum_{n = 1}^{\infty} y_{n}$ 收敛时， $\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}$ 也收敛
$\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}$ 发散时， $\sum_{n = 1}^{\infty} y_{n}$ 也发散

1. 比较审敛法的极限形式

如果 $x_{n}$ 和 $y_{n}$ 是同阶无穷小量

\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}} = l (0 < l < + \infty) \end{array}

则 $\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}$ 和 $\sum_{n = 1}^{\infty} y_{n}$ 同时收敛或发散

2. Cauchy 判别法（根值审敛法）

$\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}$ 是正项级数， $ρ = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_{n}}$

当 $ρ < 1$ ，级数收敛
当 $ρ > 1$ , 级数发散
当 $ρ = 1$ , 可能收敛也可能发散

3. D 'Alembert 判别法（比值审敛法）

$\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}$ 是正项级数， $ρ = lim_{n \to \infty} \frac{x_{n + 1}}{x_{n}}$

当 $ρ < 1$ ，级数收敛
当 $ρ > 1$ , 级数发散
当 $ρ = 1$ , 可能收敛也可能发散
比值审敛法和根植审敛法本质都是(与几何级数相比较的) 比较审敛法

二、交错级数及其审敛法

交错级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n + 1} u_{n} u_{n} > 0$
进一步，如果 $\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n + 1} u_{n}$ 满足： ${u_{n}}$ 单调减少且收敛于 0，则称为 Leibniz 级数

{\begin{cases} u_{n} \geq u_{n + 1} \\ lim_{n \to \infty} u_{n} = 0 \end{cases}

Leibniz 级数 必定收敛

三、任意项级数及其敛散性

Cauchy 收敛原理，级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}$ 收敛的充分必要条件是：对任意给定的 $ε > 0$ , 存在 $N$ ，使得

\begin{array}{r} | x_{n + 1} + x_{x + 2} + \dots + x_{m} | = | \sum_{k = n + 1}^{m} x_{k} | < ε \end{array}

对一切 $m > n > N$ 成立

绝对收敛和条件收敛

$\sum_{n = 1}^{\infty} | x_{n} |$ 收敛，则 $\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}$ 绝对收敛
$\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}$ 收敛， $\sum_{n = 1}^{\infty} | x_{n} |$ 发散，则 $\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}$ 条件收敛